게임전략 - 내쉬균형

1. 내쉬균형의 의미

 

앞에서 살펴본 우월전략균형의 개념은 직관적으로 매우 명백하다는 장점을 갖습니다. 다시 말해 게임이 그와 같은 상태로 귀결될 가능성이 매우 높다는 데 별 의문이 없다는 뜻입니다. 그러나 문제는 이것이 존재하는 게임의 예가 현실에서 그리 흔하지 않다는 데 있습니다. 우월전략균형이 존재하기 위해서는 각 플레이어가 모두 우월전략을 가져야만 합니다. 그러나 이 조건이 현실의 게임에서 충족되기는 무척 어렵습니다. 이 점에서 볼 때 앞서의 용의자의 딜레마 게임은 매우 예외적인 성격의 게임이라고 말할 수 있습니다.

 

현실의 게임에서는 어느 한 플레이어만 우월전략을 갖는 경우도 그리 흔하지 않습니다. 우리가 생각할 수 있는 대부분의 게임에서 나의 최적 전략은 상대방이 어떤 전략을 선택하느냐에 따라 달라지게 마련입니다. 그렇기 때문에 게임에 임하는 플레이어는 상대방의 일거일동에 신경을 곤두세울 수밖에 없는 것입니다. 현실적으로 상대방이 어떤 전략을 선택하는지에 신경 쓰지 않고 하나의 전략으로 일관할 수 있는 상황을 보게 되는 경우는 지극히 드뭅니다.

 

어떤 게임에 우월전략균형이 존재하지 않는다고 해서 균형이 아예 존재하지 않는 것은 아닙니다. 우월전략균형은 게임에서 나타날 수 있는 여러 가지 균형의 한 가지에 지나지 않을 뿐입니다. 따라서 어떤 게임에 우월전략균형이 존재하지 않는다 해도 다른 종류의 균형은 존재할 수 있습니다. 내쉬균형(Nash equilibrium, 상대방의 전략이 주어져 있을 때 자신의 입장에서 최적인 전략을 내쉬균형전략이라고 부르는데, 각 경기자가 이 전략을 채택할 때 내쉬균형이 이루어짐)이 그 좋은 예입니다. 즉 어떤 게임에 우월전략균형이 존재하지 않아도 내쉬균형은 존재할 수 있다는 말입니다.

 

우월전략균형이 존재하지 않더라도 내쉬균형이 존재할 수 있는 이유는 내쉬균형이 이루어지는데 충족되어야 하는 조건이 상대적으로 더 약하기 때문입니다. 각 플레이어가 내쉬균형전략을 채택할 때 내쉬균형이 이루어지는데, 내쉬균형전략이란 상대방의 전략이 주어져 있을 때 자신의 입장에서 최적인 전략을 뜻합니다. 이를 앞에서 본 우월전략과 비교해 보면 왜 내쉬균형이 이루어지기 위한 조건이 상대적으로 더 약한 것인지 그 이유를 알 수 있습니다.

 

어떤 전략이 우월전략이라는 것은 상대방이 어떤 전략을 채택하든 상관없이 자신의 입장에서 볼 때 최적인 전략이라는 뜻입니다. 이는 상대방의 모든 전략에 대해 바로 그 전략이 최적대응의 성격을 갖는다는 것을 뜻합니다. 이에 비해 내쉬균형전략은 주어진 상대방의 전략에 대해서만 최적대응이라는 성격을 갖습니다. 상대방의 '모든' 전략에 대해 최적대응의 성격을 갖는 전략을 찾는 것은 매우 어려운 일입니다. 그러나 어떤 하나의 특정한 전략에 대해서만 최적대응의 성격을 갖는 전략을 찾는 것은 비교적 쉬운 일입니다.

 

그렇기 때문에 우월전략을 찾을 수 없는 경우에도 내쉬균형전략은 찾을 수 있게 되는 것입니다. 이는 우월전략균형이 존재하지 않는 게임이라 해도 내쉬균형은 존재하지 않는 게임이라 해도 내쉬균형은 존재할 수 있음을 뜻합니다. 이와 같이 상대방의 모든 전략이 아닌 특정한 전략에 대해서만 최적대응의 성격을 갖는 전략의 존재를 요구한다는 점에서 내쉬균형이 이루어지기 위해 충족되어야 하는 조건은 한층 더 완화된 것이라고 말할 수 있습니다.

 

게임의 균형으로서 가장 많은 관심의 대상이 되는 것은 바로 이 내쉬균형 입니다. 게임에 임하는 플레이어가 실제로 내쉬균형전략을 선택할 가능성이 크다는 점에서 내쉬균형은 현실설명력이 높은 균형의 개념이라고 말할 수 있습니다. 다시 말해 현실의 게임이 내쉬균형의 상태로 귀결될 가능성이 크다고 볼 수 있다는 뜻입니다. 게임이론에 관한 논의에서 언제나 내쉬균형이 핵심적인 위치를 차지하는 것은 결코 우연이 아닙니다.

 

참고로 한 가지 알아 두어야 할 것이 있는데, 우월전략균형이 내쉬균형의 성격을 갖지만 그 역은 성립하지 않는다는 사실입니다. 어떤 전략이 상대방의 모든 전략에 대해 최적대응의 성격을 갖는다면, 이 전략은 상대방의 특정한 전략에 대해서도 당연히 최적대응이 됩니다. 이는 어떤 전략이 우월전략일 경우 그것은 당연히 내쉬균형전략의 성격도 갖는다는 것을 뜻합니다. 따라서 우월전략의 짝인 우월전략균형은 내쉬균형의 성격도 갖게 되는 것입니다. 그러나 그 역이 성립하지는 않는다는 점에 대해서는 별도의 설명이 필요하지 않으리라고 생각합니다.

 

 

2. 내쉬균형의 실례

 

어떤 작은 마을에서 청주옥과 한성반점이라는 두 음식점이 서로 경쟁을 벌이고 있다고 합니다. 이들이 과연 어떤 음식을 메뉴에 올릴지를 두고 서로 눈치를 보고 있는 상황을 생각해 보기로 하겠습니다. 각 식당은 두 가지 중 하나의 음식을 선택해서 팔게 되는 데, 청주옥은 비빔밥과 된장찌개 중 하나를, 그리고 한성반점은 자장면과 우동 중 하나를 고르려 합니다. 각 식당이 특정한 음식을 선택했을 때 얻게 되는 이윤이 각각 다른 데, 그 구체적 내용을 아래 표로 정리해 놓았습니다.

 

상황이 이렇게 주어져 있는 경우라면 어떤 음식점도 우월전략을 갖지 못합니다. 상대방이 어떤 음식을 택하느냐에 따라 자신이 어느 쪽을 선택하는 것이 더 유리해지는지가 달라지기 때문입니다. 예컨대 청주식당이 비빔밥을 선택하면 한성반점으로서는 자장면을 선택하는 것이 더 유리한 반면, 청주식당이 된장찌개를 선택하면 한성반점은 우동을 선택하는 것이 더 유리해집니다.

 

이처럼 지금 보는 게임에는 우월전략이 존재하지 않기 때문에 우월전략균형도 존재할 수 없습니다. 그러나 이 경우에도 내쉬균형은 존재하는데, 각 음식점이 다음과 같은 내쉬균형전략을 선택할 수 있기 때문입니다. 우선 한성반점이 자장면을 선택했다고 하겠습니다. 그렇다면 청주옥의 내쉬균형전략은 비빔밥을 선택하는 것입니다. 된장찌개를 선택하면 이윤이 3억원밖에 안 되지만 비빔밥을 선택하면 8억 원이나 되기 때문입니다. 이와 똑같은 논리에 의해 한성반점이 우동을 선택했다면 청주옥의 내쉬균형전략은 된장찌개를 선택하는 것임을 알 수 있습니다.

 

한편 한성반점의 입장에서 본 내쉬균형전략은 다음과 같습니다. 즉 청주옥이 비빔밥을 선택했다면 자장면을 선택하는 것, 그리고 청주옥이 된장찌개를 선택했다면 우동을 선택하는 것이 한성식당의 내쉬균형전략이 됩니다.

이 두 음식점의 내쉬균형전략을 짝지워 보면 다음과 같은 사실을 발견할 수 있습니다. 만약 청주옥이 비빔밥을 선택하면 한성반점은 내쉬균형전략에 따라 자장면을 선택할 것입니다. 한편 한성반점이 자장면을 선택하면 청주옥은 내쉬균형전략에 따라 비빔밥을 선택하게 됩니다. 그러므로 청주옥이 비빔밥을 선택하고 한성반점이 자장면을 선택하는 것이 하나의 균형이 될 수 있습니다.

 

앞에서 설명한 것처럼, 게임의 결과로 실현될 가능성이 높은 것을 균형이라고 부릅니다. 청주옥이 비빔밥을 선택하고 한성반점이 자장면을 선택하는 상황에서 균형이 이루어진다고 말할 수 있기 위해서는 두 쪽 모두 현재의 전략을 그대로 유지할 것으로 기대할 수 있어야 합니다. 지금 보는 상황에서는 어느 한쪽이 자신만 일방적으로 전략을 바꿈으로써 이윤을 더 크게 만들 수 없게끔 되어 있습니다. 그렇기 때문에 두 쪽이 모두 현재의 선택을 그대로 유지할 것으로 기대할 수 있게 되는 것입니다.

 

그런데 지금 보고 있는 게임에는 또 하나의 내쉬균형이 존재하고 있습니다. 즉 청주옥이 된장찌개를 선택하고 한성반점이 우동을 선택하는 것 역시 내쉬균형이라고 말할 수 있습니다. 왜 그렇게 되는지는 여러분들이 스스로 알아낼 수 있으리라고 믿습니다. 하여튼 이 예에서 볼 수 있는 것처럼, 한 게임에서 내쉬균형 여러 개가 동시에 존재하는 경우도 있습니다. 또한 경우에 따라서는 내쉬균형이 전혀 존재하지 않는 게임도 있을 수 있습니다.